Exos_Les_suites_1

Exercice 1
(un) est la suite de terme général un = n
n2+4 . Calculer u2. Exprimer un+1, u2n en fonction de
n.
Exercice 2
Étudier le sens de variation des suites ci-dessous définies sur N ou N par :
1. un = 3
n2 ;
2. un = p3n+1 ;
3. un = 2n−1
n+4 ;
4. un = n
10n ;
5. un = (−1
3 )
n ;
6. un = n! (où 0! = 1 et 8n 2 N, n! = 1×2×3×...×n) ;
7. u0 = 1 et un+1 = un−3 ;
8. u0 = 1 et un+1 = −1
2un.
Exercice 3
Montrer que les suites définies sur N ou N ci-dessous sont bornées :
1. un = cosn+(−1)n ;
2. un = 2+sinn
3−cosn ;
3. un = 3n−1
2n+1 ;
4. un =
pn
pn+pn+1 .
Exercice 4
(vn) est la suite définie par v0 = 1 et 8n 2 N, vn+1 = vn
1+vn
. Montrer, à l’aide d’une récurrence,
que 8n 2 N, vn > 0.
Montrer que la suite (un) définie par un = 1
vn
est arithmétique.
Exercice 5
(un) est une suite arithmétique de raison 3 et u1 = −2.
1. Exprimer un en fonction de n.
2. Calculer u30+u31+...+u32.
3. Calculer u1+u2+...+u20.
1
Exercice 6
On considère la suite (un) de nombres réels, définie pour tout entier n 1 par la relation de
récurrence un+1 = 4
10 − 3
10un et par la condition initiale u1 = a (a est un réel fixé).
1. (vn) est la suite de nombres réels définie pour tout entier naturel n 1 par vn = 13un−4.
Montrer que (vn) est une suite géométrique.
2. (a) Exprimer vn en fonction de n et de a.
(b) En déduire un en fonction de n et de a.
Exercice 7
Soient (un), (vn) et (wn) les suites définies pour tout n 2 par :un = (1− 1
2 )(1− 1
3 )×...×
(1− 1
n−1 )(1− 1
n ) ;vn = (1+ 1
2 )(1+ 1
3 )×...×(1+ 1
n−1 )(1+ 1
n ) ;wn = (1− 1
4 )(1− 1
9 )×...×(1− 1
(n−1)2 )(1− 1
n2 ).
1. Exprimer un et vn en fonction de n.
2. En déduire wn en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (wn) ?
Exercice 8
Soit (un) définie pour tout n 2 N par u0 = 1 et un+1 = u2n
+un+1.
1. Trouver le sens de variation de cette suite.
2. Montrer que pour tout n 2 N, un n.
3. Déterminer la limite de cette suite.
Exercice 9
Pour tout n 2 N on pose Sn = ånk
=1
1
k2 .
1. Montrer que pour tout k 2, 1
k2 1
k−1 − 1k
.
2. En déduire que Sn 2− 1
n .
3. Montrer que (Sn) est une suite bornée.
Exercice 10
Montrer par récurrence que pour tout n 2 N, et pour tout a 2 R+, (1+a)n
1+na.
2
Exercice 11
Une assemblée comporte n personnes. On suppose que chacune de ces personnes serre la
main à toutes les autres.
1. Si une (n+1)-ème personne arrive, combien y a-t-il de poignées supplémentaires échangées
?
2. Montrer par récurrence qu’il y aura en tout n(n−1)
2 poignées de mains échangées.
Exercice 12
Récurrence forte
Soit (un) définie par u0 = 1 et 8n 0, un+1 = u1 +u2 +...+un. Montrer que pour tout n 0,
un 2n.
Pour cela, considérer la propriété :p(N) : 8n N, un 2n et faire une récurrence sur N.
Exercice 13
Dans le cours, le principe de dichotomie a été admis et il en a été déduit le théorème de
convergence des suites adjacentes.
L’objet de cet exercice est de montrer que si on admet le théorème de convergence des suites
adjacentes, alors on peut en déduire le principe de dichotomie. Il y a donc équivalence. Soit a,b
deux nombres réels tels que a < b. Soit I =]a;b[ et soit a 2 I. On définit les suites (un)n2N et
(vn)n2N par u0 = a, v0 = b, un+1 = un+vn
2 si a un+vn
2 ,
un sinon,
et vn+1 = un+vn
2 si a un+vn
2 ,
vn sinon.
1. Montrer par récurrence :
(a) Pour tout n 0, vn un.
(b) Pour tout n 0, a 2 [un; vn].
(c) Pour tout n 0, vn−un b−a
2n .
2. Montrer que (un) et (vn) sont adjacentes.
3. En déduire qu’elles convergent vers a.
4. On suppose que b−a = 1. Montrer qu’alors pour tout n 20, un < a < vn est un encadrement
d’amplitude 10−6 de a.
Application. Donner un encadrement d’amplitude 10−6 de a = p2 par des fractions rationnelles.
Exercice 14
Soit (un) et (vn) les suites définies respectivement par u0 = 0,
un+1 = 3un+1
4
et v0 = 2,
vn+1 = 3vn+1
4 .
3
1. On pose, pour tout n 0, sn = un +vn. Calculer s0, s1, puis montrer par récurrence que
(sn) est une suite constante.
2. On pose, pour tout n 0, dn = vn−un. Montrer que (dn) est une suite géométrique.
3. (a) Exprimer, pour tout n 2 N, un et vn en fonction de sn et dn.
(b) En déduire, pour tout n 2 N, un et vn en fonction de n.
Exercice 15
Soit (un)n2N une suite arithmétique de raison r. Soit (vn) définie pour tout n 2 N par vn =2un .
1. Montrer que (vn) est une suite géométrique.
2. Exprimer le produit P = v0×v1×...×vn en fonction de u0, r et n.
Exercice 16
Soit (un) définie par u0 = 1
2 et, pour tout n 2 N, un+1 = u2n
− 1
8 .
1. Montrer par récurrence que pour tout n 2 N, un >
1
2 +
p2
4 .
2. Montrer que (un) est décroissante.
3. En déduire que (un) est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 17
Approximation rationnelle de p2.
Soit (un) et (vn) les suites définies par u0 = 2 et
un+1 = 1
2 (un+vn)
vn = 2
un
1. Montrer par récurrence que 8n 0, 1 < un 2.
2. En déduire que (un) est décroissante, puis que (vn) est croissante.
3. Montrer que 8n 0, un+1−vn+1 = (u2n
−2)
2
2u2n
(un+vn) = (un−vn)2
2(un+vn) .
4. En déduire, à l’aide d’une récurrence, que pour tout n 2 N, un−vn ( 1
2 )
2n−1.
5. En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes et convergent vers p2.
4